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Jul 03, 2023

Die Dynamik instabiler Wellen im Meereis

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 13654 (2023) Diesen Artikel zitieren 527 Zugriffe 7 Details zu altmetrischen Metriken Wellen- und Meereiseigenschaften im Arktischen und Südlichen Ozean sind miteinander verbunden

Wissenschaftliche Berichte Band 13, Artikelnummer: 13654 (2023) Diesen Artikel zitieren

527 Zugriffe

7 Altmetrisch

Details zu den Metriken

Wellen- und Meereiseigenschaften in der Arktis und im Südpolarmeer sind durch Rückkopplungsmechanismen miteinander verbunden. Daher ist das Verständnis der Wellenausbreitung in diesen Regionen für die Modellierung dieser Schlüsselkomponente des Erdklimasystems von entscheidender Bedeutung. Der auffälligste Effekt von Meereis ist die Dämpfung von Wellen proportional zu ihrer Frequenz. Die nichtlineare Schrödinger-Gleichung (NLS), ein grundlegendes Modell für Meereswellen, beschreibt die vollständigen Wachstums- und Zerfallszyklen instabiler Moden, auch bekannt als Modulationsinstabilität (MI). Hier wird ein dissipatives NLS (d-NLS) mit charakteristischer Meereisdämpfung verwendet, um die Entwicklung instabiler Wellen zu modellieren. Der MI im Meereis bleibt jedoch in seiner phasenverschobenen Form erhalten. Die frequenzabhängige Verlustleistung bricht die Symmetrie zwischen dem dominanten linken und rechten Seitenband. Wir gehen davon aus, dass diese Arbeit zu analogen Studien und Experimenten in Wellensystemen führen kann, die einer frequenzabhängigen Energiedämpfung unterliegen.

Arktisches und antarktisches Meereis spielen eine herausragende Rolle im Erdsystem, indem es den Wärme- und Impulsaustausch über große räumliche Skalen reguliert1,2,3,4. Die Meereiseigenschaften sind über Rückkopplungsmechanismen in der Randeiszone (MIZ)5,6,7, die sich rund um die Antarktis, die das ganze Jahr über von intensiven Wellen des Südlichen Ozeans gespeist wird8, über Hunderte von Kilometern erstreckt9,10,11, eng mit den Eigenschaften der Meereswellen verknüpft9,10,11 . Die durch den Klimawandel vorangetriebene schnelle Entwicklung der Polarregionen12,14,14 hat Forschungsaktivitäten zum Verständnis der Welleneigenschaften und der Rückkopplung in der MIZ7,15, einschließlich der entstehenden arktischen MIZ16, wiederbelebt und angeregt.

Beispiel für Wellen im Südpolarmeer (Wellenhöhe ca. 5 m und Spitzenzeit ca. 12 s), die sich in einer MIZ ausbreiten, die aus kleinen Eisschollen (1–10 m) besteht, gesehen vom Eisbrecher SA Agulhas II (Strahl 21,7 m, zur visuellen Referenz) am 24. Juli 2022 bei 59\(^\circ\)S und 1\(^\circ\)E, und schematische Darstellung der exponentiellen Dissipation für eine monochromatische Welle mit Einheitsamplitude, die sich ausbreitet links nach rechts. Im Schema bezeichnet die grüne Linie die Oberflächenhöhe und die rote Linie die Wellenhülle, die mit zunehmender Entfernung eine exponentielle Dämpfung erfährt.

Im Außenbereich der MIZ, wo die Meereisbedeckung eine Mischung aus kleinen Schollen (viel kürzer als die Wellenlänge) und interstitiellem Frazil-Eis ist17,18, wurden, wie in Abb. 1 dargestellt, viskose Verluste als Hauptwellendämpfungsmechanismus identifiziert19 ,21,21. Im Inneren der MIZ, wo die Schollen größer und mit der Wellenlänge vergleichbar sind, dominiert die Wellendämpfung durch Streuung20. In der führenden Ordnung der Wellensteilheit, also dem Wellen-Nichtlinearitätsparameter, schwächt sich jede Wellenkomponente exponentiell mit der Entfernung ab, siehe Schema in Abb. 1, und zwar mit einer frequenzabhängigen Dämpfungsrate19,22,23. Das heißt, kürzere Wellen werden schneller gedämpft als ihre längeren Gegenstücke. Für einen umfassenden Überblick über Wellen im Meereis verweisen wir den Leser auf Meylan et al.19 und Squire20 sowie die darin enthaltenen Referenzen.

Die Dynamik schmalbandiger Meereswellen kann durch die nichtlineare Schrödinger-Gleichung (NLS) genau beschrieben werden. Ein faszinierendes dynamisches Phänomen, das für die Bildung kohärenter Wellen mit großer Amplitude verantwortlich ist und seit den späten 60er Jahren das wissenschaftliche Interesse geweckt hat, ist die Modulationsinstabilität (MI)24. Tatsächlich und im Gegensatz zur linearen Stabilitätsanalyse von Stoke-Wellen können die vollständigen Wachstums- und Abklingzyklen im NLS-Rahmen beschrieben werden25. In jüngerer Zeit wurden mehrere Studien der Untersuchung der Auswirkung der Wellendissipation auf die phasenverschobenen wiederkehrenden MI-Fokussierungszyklen gewidmet26,28,29,30,31,31. Die letztgenannten Studien verdeutlichen die phasenverschobene Wiederkehr in der langfristigen Entwicklung nichtlinearer und instabiler Wellen, wenn konstante, schwache und lineare Dissipationseffekte im Spiel sind. Allerdings kann das NLS auch angepasst werden, um den Einfluss der Meereisdämpfung auf die Wellen zu berücksichtigen, indem viskose Verluste als dissipativer Term einbezogen werden, der der Abklingrate der linearen Amplitude entspricht, wie gezeigt durch32,33. In diesem Zusammenhang wurde gezeigt, dass es wichtig ist, die eisinduzierte Frequenzabhängigkeit bei der Dämpfung von Meereswellen in der MIZ zu berücksichtigen34.

Wir werden unsere Aufmerksamkeit auf die Evolutionsdynamik im unendlichen Tiefenbereich richten, da die meisten Meereisprozesse in Tiefwasserbereichen relevant sind. In diesem Fall kann die schwach nichtlineare räumliche Entwicklung gedämpfter hydrodynamischer Wellen durch das d-NLS [z. B. g26,34] beschrieben werden:

wobei \(\psi\) die komplexe Wellenamplitude ist, die sich entlang der Raumkoordinate x entwickelt, während t die Zeit im Bezugssystem bezeichnet, die sich mit der Gruppengeschwindigkeit bewegt (\(t=t'-x/ c_{g}\) wobei \(c_g\) die Gruppengeschwindigkeit und \(t'\) die Zeit im festen Bezugssystem ist), i die imaginäre Einheit, g die Erdbeschleunigung, \(k_0\) die Wellenzahl der Trägerwelle, \(\omega _0=\sqrt{gk_0}\) die Kreisfrequenz und \(\mathfrak {D}(\omega )\) die frequenzabhängige lineare Dämpfungsrate. Gl. (1) ist daher im Bezugssystem geschrieben, das sich mit der Gruppengeschwindigkeit bewegt. Wir weisen darauf hin, dass der Dämpfungsterm mithilfe eines heuristischen Ansatzes eingeführt wird und dem in 34 eingeführten Term mit der Einbeziehung einer ganzen Reihe dissipativer Parameter unter Berücksichtigung der Gruppengeschwindigkeit als Referenzgeschwindigkeit entspricht.

Gemäß19 folgt die viskose Wellendissipation aufgrund von Meereis einem Frequenzleistungsgesetz mit der Besonderheit, dass höherfrequente Komponenten stärker gedämpft werden:

Dabei verwenden wir \(\omega =\omega _0+\delta \omega\) bei der Formulierung des Verlustkoeffizienten, um den Frequenzunterschied zwischen der Trägerwellen-Winkelfrequenz \(\omega _0\) und anderen Spektralkomponenten explizit hervorzuheben. Der Exponent des Potenzgesetzes n hängt von den physikalischen Mechanismen ab, die im Spiel sind20 (z. B. viskose Verluste16, Grundreibung35, Streuung21,36, Überspülung37,38, Floe-Slamming39) und liegt normalerweise im Bereich von 2–419. Gleiches gilt für die realen Koeffizienten \(\alpha _n\), die ebenfalls von denselben dynamischen und komplexen Wechselwirkungen19 und damit von effektiven Meereiseigenschaften (z. B. Dicke, Dichte, effektive Viskosität)40 abhängen. Das Potenzgesetz der Dissipation mit dem Exponenten \(n=3\), wie in Gl. (2) stimmte gut mit Feldbeobachtungen und der mathematischen Modellierung19 überein und wird daher hier berücksichtigt. Der Exponent n wird aus dem klassischen linearisierten Wasserwellenproblem abgeleitet, wenn ein zusätzlicher Druckterm zur dynamischen Randbedingung der freien Oberfläche hinzugefügt wird, um Meereis zu modellieren. Wenn davon ausgegangen wird, dass der Druckterm proportional zur Vertikalgeschwindigkeit ist, hat die resultierende Wellendispersionsbeziehung einen Imaginärteil (entspricht der Dämpfungsrate), der proportional zu \(\omega ^3\)19 ist. Beachten Sie, dass das Modell dem in 34 besprochenen entspricht, aber in diesem Fall umfassen die dissipativen Koeffizienten \(\alpha\) alle physikalischen Parameter und die Entwicklung der Wellenhülle wird im Referenzrahmen geschrieben, der sich mit Gruppengeschwindigkeit bewegt. Das Modell kann leicht geändert werden, um andere Formen der frequenzabhängigen Dissipation einzubeziehen.

Wir untersuchen das klassische MI-Problem eines monochromatischen Wellenzugs mit der Frequenz \(\omega _0\) und der Anfangsamplitude \(a_{i}\), der anfänglich kleinen symmetrischen Seitenbandstörungen \(a_{i}^l\) und \ (a_{i}^r\):

Beachten Sie, dass keine Phasenverschiebung zwischen Träger und Seitenbändern auftritt. Die anfängliche Amplitude des linken und rechten Seitenbandes, \(a_{i}^l\) bzw. \(a_{i}^r\), wird auf 1 % der Trägerwellenamplitude eingestellt, d. h. \(a_{ i}^l=a_{i}^r=0,01a_{i}\) und die Frequenzdifferenz als \(\delta \omega =0,1\omega _0\). Beachten Sie, dass das gewählte \(\delta \omega\) die maximale Wachstumsrate der Seitenbänder in eisfreien Gewässern ergibt24,41.

Die Wellensteilheit, definiert über die Wellenzahl der Trägerwelle und die Summe aller Amplituden, [eg42]:

ist anfänglich auf 0,1 gesetzt und definiert auch \(T_p=2\pi /\omega _0=12\) s. Die entsprechende Wellenlänge und Wellenzahl sind \(L=225\) m bzw. \(k_0=2,8\times 10^{-2}\) \(\hbox {m}^{-1}\). Wellenperiode und -steilheit sind repräsentativ für intensive Sturmwellen am Rand der antarktischen MIZ18. Die Wellenbedingungen einige zehn Kilometer vom Meereisrand entfernt und innerhalb der MIZ sind in Abb. 1 dargestellt. Neben dem konservativen Fall, der als Referenz verwendet wurde, Es werden 4 Verlustniveaus analysiert, die durch den Wert \(\alpha _3\) definiert sind und einen großen Bereich abdecken (Zusammenfassung in Tabelle 1). Die dissipativen Fälle werden im Verhältnis zueinander willkürlich als niedrig, mittel, hoch und sehr hoch definiert.

Diese Arbeit konzentriert sich auf die physikalischen Auswirkungen auf die instabile Wellendynamik unter Berücksichtigung der frequenzabhängigen Dissipation bei der Wellenmodellierung bis hin zur Wellennichtlinearität dritter Ordnung. Wir zeigen insbesondere, dass die verschobene MI-Rezidivrate erhalten bleibt, jedoch mit einer merklichen Verringerung der wiederkehrenden Fokussierungsperiode mit der Erhöhung des Meereis-Dissipationswerts. Darüber hinaus führt die asymmetrische Dämpfung der Wellenenergiekomponenten zu einem intrinsischen Verhalten der dominanten Seitenbänder im jeweiligen Phasenraum. Wir gehen davon aus, dass diese Studie numerische und experimentelle Studien in mehreren nichtlinearen Wellensystemen anregen wird, die durch ein frequenzabhängiges erzwungenes/gedämpftes NLS gesteuert werden, z. B. optische Hohlräume43, nichtlineare Optik44, Exziton-Polariton-Bose-Einstein-Kondensate45, Plasmaphysik46 und Metamaterialien47.

Die räumliche Entwicklung der instabilen dimensionslosen, normalisierten Hülle \(|\Psi |=|\psi |/a_{i}\) ohne Dissipation, dh unter Berücksichtigung des konservativen Falls, ist in Abb. 2a dargestellt. Tatsächlich handelt es sich dabei um eine gut vorhersehbare und bekannte intrinsische Dynamik, die wiederkehrende Fokussierungszyklen mit demselben Wellenverstärkungsfaktor entlang der dimensionslosen Raumkoordinate \(X=x/L\) beinhaltet. Darüber hinaus treten bei der Anpassung der Wellenpaketbewegung in Bezug auf die Gruppengeschwindigkeit alle periodischen Wellenverstärkungsmaxima zur gleichen dimensionslosen Zeit \(T=t/T_p\) auf. Dies entspricht der Pulsationsdynamik eines doppeltperiodischen Entlüfters vom B-Typ48, für den der Wiederholungsabstand \(\ungefähr\)160 Wellenlängen für die gewählten Wellenparameter beträgt. Tatsächlich stimmt dies gut mit dem theoretischen Wert überein, der mithilfe von Folgendem vorhergesagt wurde:

Räumliche Entwicklung der instabilen Wellenhülle im Zeitbereich bei zunehmender Dissipation (von oben nach unten) von „kein“ (a) auf „sehr hoch“ (e). Die entsprechenden Verlustwerte \(\mathfrak {D}\) für die Trägerwelle sind in Tabelle 1 angegeben. In den Panels (a), also der konservative B-Typ-Entlüfter, und (b), also der dissipative A-Typ-Entlüfter, Die Wiederholungsabstände (farbige Balken unten) und die Wiederholungsmuster (gestrichelte weiße Linien) werden hervorgehoben.

Unter Berücksichtigung eines allmählichen Anstiegs der Dissipation, wie durch den Parameter \(\mathfrak {D}\) definiert, entsteht eine phasenverschobene Fokussierungsrekurrenz, die ein charakteristisches periodisches Merkmal vom A-Typ26,49 ist. Die Entwicklung der jeweiligen Wellenpakete ist in Abb. 2b – e dargestellt. Dies geschieht bereits bei sehr kleinen Werten der Wellendissipation. Darüber hinaus verringert sich der Abstand zwischen den Zyklen im Vergleich zum konservativen Fall, wobei die Verkürzung bei steigenden Verlustgraden bei geringer und mittlerer Verlustleistung stärker ausgeprägt ist. Der erste Pseudorekursionszyklus umfasst 150 Wellenlängen für geringe Verlustleistung und 130 Wellenlängen für mittlere Verlustleistung. Das Bild ist in den beiden am stärksten dissipativen Fällen komplexer, in denen die Länge des ersten Pseudofokussierungszyklus geringfügig zunimmt, während unmittelbar darauf die nächste leichte Wellenfokussierung folgt. Wir führen dieses Verhalten auf die schnelle Abnahme der Wellenamplitude mit zunehmender Wellendissipation zurück, und daher führt die geringere Nichtlinearität der Welle zu einem langsameren Wachstums-Abkling-Zyklus für den MI. Dies kann auch in Gleichung verfolgt werden. (5) in dem die Wellensteilheit im Nenner erscheint. Somit trägt der schnelle Energieverlust zur Verlängerung der Wiederholungsperiode bei.

Indem wir die numerischen Ergebnisse am Ende jedes Pseudorekursionszyklus als Randbedingung verwenden, können wir aus Gleichung (1) einen aktualisierten Wert für die Wiederholungslänge erhalten. (5). Dennoch stellen wir fest, dass die Vorhersagefähigkeit von Gl. (5) verschlechtert sich mit jedem Zyklus und mit zunehmendem Verlustleistungsgrad bei niedriger und mittlerer Verlustleistung. Die Formel prognostiziert normalerweise die Wiederholungslänge im Vergleich zu den numerischen Simulationen zu niedrig, z. B. wird die Wiederholungslänge des dritten Zyklus bei geringer Verlustleistung um ca. 10 % und bei mittlerer Verlustleistung um etwa 30 % unterschätzt . Bei hoher Verlustleistung verbessert sich tatsächlich die Vorhersage der Wiederholungslänge. Im Vergleich zu den numerischen Simulationen ist die mit Gl. (5) ist im dritten Zyklus um \(\ca. 10\%\) kürzer und im folgenden Zyklus um \(\ca. 20\%\) länger. Dies unterstreicht die Tatsache, dass die Wellenvorhersage bei sehr hoher Dissipation unzuverlässig wird.

Die räumliche Entwicklung der mittleren Wellenamplitude \(\langle \Psi \rangle\), berechnet in Bezug auf die Zeitvariable, für die verschiedenen Dissipationsniveaus ist in Abb. 3 zusammengefasst. Beachten Sie, dass die vertikalen Achsen zur Hervorhebung im logarithmischen Maßstab sind Abweichung vom exponentiellen Abfall des Benchmarks. Im konservativen Fall bleibt die Energie natürlich entlang der Ausbreitung in der Raumkoordinate erhalten, d. h. \(\langle \Psi (X)\rangle =1\). Mit dem Anstieg des Niveaus der exponentiellen Verlustrate, dh die negative Steigung ist in Abb. 3 linear, ist die mittlere Wellenamplitude am Ende des Rechenbereichs in Tabelle 1 zusammengefasst. Diese Werte liegen innerhalb von 1 % des Energieniveaus der linear gedämpften Trägerwellenkomponente, also \(\exp {[-\mathfrak {D}(\omega _0)x]}\). Daher verändert das Vorhandensein von Modulationsinstabilitätszyklen nicht die Gesamtenergie, die von Wellen im dissipativen Meereisbereich getragen wird. Der vernachlässigbare Unterschied steht im Gegensatz zu Simulationen für zufällige Wellen, bei denen die nichtlinearen Fälle im Vergleich zu den entsprechenden linearen Fällen deutlich energiereicher in der Meereisdecke blieben und die Energie weniger als exponentiell abfiel [vgl.34]. Es ist jedoch erwähnenswert, dass sich bei einem kontinuierlichen Spektrum die Trägerwellenkomponente zunehmend zu längeren Wellenperioden verschiebt50, die auch weniger dissipativ sind. Andererseits weist das Dreiwellensystem ein symmetrischeres Spektrum auf und die Periode der Trägerwellenkomponente bleibt während der langfristigen Entwicklung im Raum konstant. Bemerkenswert ist auch, dass für das niedrigste Verlustniveau am Ende des räumlichen Bereichs in unseren numerischen Simulationen (ungefähr drei Wiederholungszyklen) die mittlere Wellenamplitude um weniger als 1 % reduziert wird. Dennoch wird das räumliche Muster der Wiederholungszyklen immer noch phasenverschoben, siehe Abb. 2b.

Räumliche Entwicklung der mittleren Wellenamplitude im logarithmischen Maßstab für die dissipativen Fälle, von niedrig (gelb) bis sehr hoch (blau), wie in Tabelle 1 aufgeführt.

In jeder der durchgeführten Simulationen haben wir die maximale Verstärkung im Raum unabhängig von der Zeit verfolgt, d. h. \(\max |\Psi |\), dargestellt als dicke rote Linie in Abb. 4, und im Vergleich zum konservativen Fall, dargestellt in dünner Form rote Linie in Abb. 4. Wie in den Oberflächendiagrammen in Abb. 2 gezeigt, ist die Verkürzung des Wiederholungszyklus auch bei geringer Dissipation offensichtlich und als Ergebnis treten die Maxima an anderen Orten auf als im konservativen Fall, die Verstärkung ist jedoch vorhanden fast unverändert. Bemerkenswert ist, dass im Fall mittlerer Dissipation, siehe Abb. 4b, die Ortsfrequenz lokaler Maxima im Vergleich zum konservativen Fall fast verdoppelt wird, d. ), wird bei mittlerer Verlustleistung erhöht. Im ersten Wiederholungszyklus nimmt die maximale Verstärkung nur geringfügig ab und am Ende des numerischen Bereichs (nach 5 Zyklen phasenverschobener Wiederholung) beträgt die maximale Verstärkung \(\ungefähr 2\). Bei höheren Dissipationsniveaus, das heißt hoch und sehr hoch und wie in Abb. 4c – d, ist die Verkürzung des Wiederholungszyklus noch ausgeprägter. Im hochdissipativen Fall weisen nur die ersten beiden Zyklen phasenverschobener Wiederholungen eine Verstärkung größer als eins auf, da der erste Zyklus eine Verstärkung von \(\ungefähr 1,5\) aufweist. Bei sehr hoher Verlustleistung überwiegt die Dämpfung und die Amplitudenverstärkung überschreitet nie eins.

Räumliche Entwicklung der Wellenamplituden für niedrige bis sehr hohe Dissipation (von oben nach unten) für die Trägerspitzenenergie (schwarz), das linke (blau) und rechte Seitenband (grün) und die maximale Amplitude (rot). Dünne Linien kennzeichnen den konservativen Fall. Die strichpunktierte Linie bezeichnet den linearen Abfall der Trägerwellenamplitudenkomponente.

Die Entwicklung der Trägerwelle (\(A=a/a_{i}\)) und des ersten Seitenbandes linker und rechter Ordnung \(\bigg (A^l=a^{l}/a_{i}\), \ (A^r=a^{r}/a_{i}\bigg )\) ist auch in Abb. 4 dargestellt. Alle Fälle zeigen den Energieaustausch vom Träger zu den Seitenbändern während der Wachstumsphase des MI-Zyklus und das Gegenteil in der Abklingphase. Die frequenzabhängige Verlustleistung würde bedeuten, dass das linke (rechte) Seitenband eine um 30 % geringere (größere) Verlustleistung erfährt als der Träger. Allerdings ist der Unterschied gering, macht sich aber nur im Fall hoher Verlustleistung bemerkbar, in allen anderen Fällen ist der Unterschied vernachlässigbar, dh die blauen und grünen Linien überlappen sich. Bei geringer Verlustleistung wird nur ein beschleunigter Zyklus in der Dynamik des Trägers und der Seitenbänder erster Ordnung beobachtet, ihre Amplitude bleibt jedoch im Vergleich zum konservativen Fall nahezu unverändert (dünne Linien in Abb. 4). Bei mittlerer Dissipation kehren die Seitenbänder nie auf das ursprüngliche Amplitudenniveau zurück, sondern sind am Ende jedes Abklingzyklus energiereicher, dh jedes lokale Minimum hat einen höheren Wert als das vorherige. Bei hoher Verlustrate ist ein ähnliches Verhalten zu beobachten, die höhere Verlustrate führt jedoch dazu, dass die Seitenbänder letztendlich gedämpft werden. Im hochdissipativen Fall wird der Energieaustausch zwischen dem Träger und den Seitenbändern nach dem ersten Zyklus nahezu unterdrückt und das Trägerband zerfällt exponentiell (die dicke schwarze Linie überlappt die strichpunktierte Linie in Abb. 4d).

Um die Dynamik des linken Seitenbandes erster Ordnung zu untersuchen, konstruieren wir sein Phasenraumdiagramm wie folgt:

wobei \(\Delta \phi ^l\) die Phasendifferenz zwischen der Trägerwellenmode und dem dominanten linken Seitenband bezeichnet, also \(\Delta \phi ^{l} = \phi -\phi ^{l}\). Das Phasenraumdiagramm des rechten Seitenbandes wird auf ähnliche Weise erhalten.

Abbildung 5 zeigt den konservativen Fall (in Schwarz), in dem sich die nachfolgenden Zyklen des MI zeitlich identisch wiederholen, d in der gleichen Weise). Für die ausgewählte Anfangsbedingung ist die Trajektorie im Phasenraumdiagramm auf die Separatrix beschränkt und der Wiederholungszyklus ist phasengleich. Dies steht im Einklang mit dem erwarteten B-Typ-Rezidiv. Bei geringer bis mittlerer Dissipation (Abb. 5a–d) wechseln die Trajektorien zu einer äußeren Trajektorie (in Form einer Acht) und führen zu phasenverschobenen Wiederholungszyklen, d. h. A-Typ-Rezidiven. Nachfolgende Zyklen für das linke (rechte) Seitenband bewegen sich im Uhrzeigersinn (gegen den Uhrzeigersinn) und in höherem Maße für eine geringe Verlustleistung. Bei frequenzunabhängiger Dämpfung ist keine Drehung der Hauptachsen im Phasenraumdiagramm zu beobachten und das linke und rechte Seitenband verhalten sich gleich, siehe gepunktete Linie in Abb. 5a–d. Bei hoher bis sehr hoher Dissipation wird auch der Wechsel zu einer achtförmigen Form der Flugbahn beobachtet, die die linke und rechte Seite des Phasenraums überspannt, aber nachfolgende Schleifen degenerieren aufgrund der erheblichen Dämpfung schnell zu spiralförmigen Zyklen, siehe Abb . 5e–h.

Phasenraumdiagramm des linken (a, c, e, g) und rechten Seitenbandes (b, d, f, h) für geringe bis sehr hohe Verlustleistung (von oben nach unten). Die schwarzen Linien zeigen den konservativen Fall und die gepunktete Linie die frequenzunabhängige Verlustleistung. Beachten Sie, dass sich die Achsengrenzen in jedem Panel ändern.

Das unterschiedliche Verhalten der frequenzabhängigen und frequenzunabhängigen und konstanten Dämpfung wird deutlich, wenn man die Phasendifferenz zwischen den Seitenbändern und dem Träger untersucht, siehe Abb. 6. Für den konservativen Fall, also den Fall der Verlustleistung Null, beträgt die Phasendifferenz ist für das dominante linke und rechte Seitenband gleich und liegt zwischen \(-\pi /2\) und \(\pi /2\), siehe durchgehende schwarze Linie in Abb. 6. Für die frequenzabhängige Dissipation links und rechts Seitenbandspannwinkel zwischen \(-\pi\) und \(\pi\) und verhalten sich insbesondere bei niedrigen Verlustpegeln unterschiedlich (Abb. 6a), wobei das rechte Seitenband in der Rotation hinter dem linken zurückbleibt. Es ist erwähnenswert, dass sich bei frequenzunabhängiger Dämpfung, wie durch die gestrichelte Linie in Abb. 6 dargestellt, das rechte und das linke Seitenband gleich verhalten und im frequenzabhängigen Fall ein Zwischenverhalten zwischen den Seitenbändern aufweisen. Unterschiede zwischen dem rechten und linken Seitenband im dissipativen Fall verschwinden bei höheren Dämpfungsniveaus tendenziell, siehe Abb. 6c–d.

Phasendifferenz für geringe bis sehr hohe Verlustleistung (von oben nach unten) für das linke (blau) und rechte Seitenband (grün). Die schwarze Linie zeigt den konservativen Fall und die gepunktete Linie die frequenzunabhängige Verlustleistung.

Die klassische Dynamik der Modulationsinstabilität wird in Gegenwart einer frequenzabhängigen Dämpfung untersucht. Dies steht im Gegensatz zu früheren Arbeiten, in denen Antrieb und Dämpfung als frequenzunabhängig betrachtet wurden, z. B. 26, 29, 31, 51. Dennoch ist, ähnlich wie bei früheren Arbeiten, eine kleine Dissipation in der Lage, den Wiederholungszyklus von einer B-Typ- (nicht verschobenen) zu einer A-Typ- (verschobenen) Verschnaufpausen-Evolution zu ändern. Der wichtigste Effekt der unterschiedlichen Dämpfungsrate verändert die Dynamik der linken/rechten Seitenbänder und es gibt eine Verzögerung zwischen beiden. Im Vergleich zur frequenzunabhängigen Dämpfung scheinen Unterschiede in der Energie und im Wiederholungsmuster jedoch unbeeinflusst zu sein. Die große anfängliche Nichtlinearität des Systems löst Pseudorekursionszyklen mit großer Verstärkung des anfänglichen Seegangs aus, insbesondere bei geringer und mittlerer Dissipation. Interessanterweise bedeutet die Verkürzung des Zyklus bei mittleren Verlustraten, dass es im Vergleich zum konservativen Fall mehr Instanzen in der Domäne mit Verstärkungen von mehr als zwei gibt. Zum Vergleich: Zufällige Seezustände, siehe Lit. 34, kehrten bei Vorhandensein von Dissipation zur Gaußschen Statistik zurück.

Trotz der komplexen Dynamik in der nichtlinearen Entwicklung zerfällt die Gesamtenergie in Übereinstimmung mit der linearen Theorie, dies steht im Gegensatz zu den Zufallswellen (vgl.34), bei denen bei großer Dissipation ein erheblicher Unterschied zwischen dem linearen und dem nichtlinearen Fall besteht. Dieser Unterschied wird auf die Verschiebung der Spitzenfrequenz in einem Dauerstrichspektrum zurückgeführt, während im klassischen MI-Fall die Trägerwellenfrequenz unverändert bleibt.

Letztendlich zeigen die Ergebnisse, dass ein energiereiches Wellensystem, das sich im arktischen und antarktischen Meereis ausbreitet, außergewöhnlich große Wellen erzeugen kann, wo keine zu erwarten waren, insbesondere wenn die Dissipation leicht bis mittelmäßig ist, und unerwartete gefährliche Bedingungen für Schiffe verursachen könnte, die im Randeis operieren Zone. Die vorliegende Forschung unterstreicht die Notwendigkeit, die Dynamik von NLS-Systemen höherer Ordnung für Breitbandprozesse und in Gegenwart einer frequenzabhängigen Dämpfung weiter zu untersuchen, die auf andere physikalische Systeme angewendet werden könnte, z. B. nichtlineare Optik, Bose-Einstein-Kondensate, und Metamaterialien, zusätzlich zu hydrodynamischen Wellen.

Der Benjamin-Feir-Instabilitätsindex52,53 ist

Die Instabilitätsbedingung für das sich im Laufe der Zeit entwickelnde Gerüst ist \(0

Für die gewählten Welleneigenschaften beträgt der Meereis-Benjamin-Feir-Index am Eisrand \(BFI^{SI}\) 1,41, d. h. \(BFI^{SI}(x=0)=1,41\), für alle betrachteten \ (\mathfrak {D}\)-Werte. Dies ist eine ausreichende Bedingung, um Wachstums- und Verfallszyklen auszulösen, die für den MI typisch sind54,55.

Die theoretische Wiederholungsperiode für den Wachstums- und Abklingzyklus des instabilen Wellenzugs ist durch56 gegeben. Im Rahmen einer sich ausbreitenden Welle wenden wir die kanonische Transformation unter Verwendung der Gruppengeschwindigkeit an, um die Wiederholungslänge zu erhalten (Gleichung 5)). Im Vergleich zu56 wird das Verhältnis zwischen Träger und Seitenbändern geändert, um mögliche Asymmetrien in deren Amplitude zu berücksichtigen. Für die gewählten Randbedingungen entspricht der Wiederholungszyklus 155 Wellenlängen unter Verwendung der Trägerwellenlänge L als Normalisierungsfaktor.

In dieser Arbeit werden verschiedene Dissipationsgrade bei instabiler Wellendynamik analysiert: vom konservativen Fall (als Benchmark verwendet) bis zu sehr hohen Dämpfungswerten. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass \(n=3\) als Exponent des Potenzgesetzes für die Verlustleistung verwendet wird, sind die entsprechenden Skalierungsparameter \(\alpha _3\) in Tabelle 1 angegeben. Die lineare Dämpfungsrate für die dominante Wellenfrequenz ist ebenfalls angegeben: also \(\mathfrak {D}(\omega _0)=\alpha _3\omega _0^3\). Die Dissipationslängenskala kann durch das Verhältnis \(k/\mathfrak {D}(\omega _0)\) ausgedrückt werden und reicht von unendlich für den konservativen Fall, d. h. \(\mathfrak {D}=0\), bis etwa 1400 Wellenlängen für den sehr hochdissipativen Fall.

Es ist erwähnenswert, dass die Verlustleistung in unserem Modell \(\omega ^3\) skaliert, weshalb die Trägerwellenkomponente und die Seitenbänder unterschiedlichen Dämpfungsraten unterliegen. Insbesondere unter Verwendung von \(\delta \omega = 0,1\omega _0\) erhalten wir, dass das linke Seitenband mit einer Rate \(0,73\mathfrak {D}(\omega _0)\) und das rechte Seitenband mit a gedämpft wird Rate \(1,33\mathfrak {D}(\omega _0)\). Daher ist für Seitenbänder mit maximaler Wachstumsrate und kubischer Dämpfung in Bezug auf die Frequenz der Unterschied in der Dämpfungsrate zwischen dem linken und dem rechten Seitenband fast doppelt so groß, wenn man \(\mathfrak {D}(\omega _0+\delta \omega )/\mathfrak {D}(\omega _0-\delta \omega )=1,83\).

Das d-NLS (1) wird numerisch gelöst, indem \(\psi (x,t)\) im Raum unter Verwendung der Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung vorangetrieben wird. Es wird ein zeitperiodischer Bereich verwendet, der einen vollständigen Modulationszyklus umfasst, einschließlich 10 Wellenperioden für das gewählte \(\delta \omega\). Dies ermöglicht eine effiziente und genaue Berechnung von Zeitableitungen im Fourier-Bereich. Der frequenzabhängige dissipative Term kann im Fourier-Raum auf einfache Weise mithilfe der Fourier-Transformation und der inversen Fourier-Transformation (\(\mathcal {F}\) bzw. \(\mathcal {F}^{-1}\) berechnet werden. wie die folgenden:

Der Zeitbereich wird mit \(2^6\) Elementen diskretisiert und der resultierende Zeitschritt beträgt \(\delta t=\)1,875 s. Somit gilt \(T/\delta t=6,4\) und die instabile Wellenhülle breitet sich mit \(\delta x = 1\) m über 100 km im Raum aus (in dimensionsloser Form entspricht der Rechenbereich \(X=x). /L=445\) Wellenlängen). Zeitliche und räumliche Auflösungen garantieren numerische Stabilität.

Alle während dieser Studie generierten oder analysierten Daten sind in diesem veröffentlichten Artikel enthalten.

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Die in diesem Dokument vorgestellte Forschung wurde am High Performance Computing Cluster durchgeführt, der vom Research and Specialist Computing Support Service der University of East Anglia unterstützt wird. AA dankt Dr. Davide Proment und Dr. Alberto Villois für interessante Diskussionen. AC dankt dem Hakubi Center for Advanced Research der Universität Kyoto für seine Unterstützung.

Fakultät für Mathematik, University of East Anglia, Norwich, NR4 7TJ, Großbritannien

Alberto Alberello & Emilian Părău

School of Civil Engineering, The University of Sydney, Sydney, NSW, 2006, Australien

Amin Chabchoub

Hakubi Center for Advanced Research, Disaster Prevention Research Institute, Universität Kyoto, Kyoto, 606-8501, Japan

Amin Chabchoub

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AA hat die Forschung entworfen. AA, EP und AC führten die Analyse durch und trugen zum Verfassen des Artikels bei.

Korrespondenz mit Alberto Alberello.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Alberello, A., Părău, E. & Chabchoub, A. Die Dynamik instabiler Wellen im Meereis. Sci Rep 13, 13654 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-40696-3

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Eingegangen: 05. Juli 2023

Angenommen: 16. August 2023

Veröffentlicht: 22. August 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-40696-3

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